튀ρο

So, guten Morgen.

Unser Thema sind im Moment die uneigentlichen integrale.

Das sind Integrale, die man nicht als Riemann Integral

also im eigentlichen Sinn ausrechnen kann.

Das kann daran liegen, dass die Funktionen an einer Stelle gegen unendlich gehen, also

so eine Singularität haben.

Und dann betrachtet man die Integrale, wo man die Grenze der Integration gegen diese schwierige

Stelle verschiebt.

Also hier die Grenze, die läuft dann gegen diese Singularität.

Und für so einen Intervall a, b haben wir hier eine beschränkte Riemann integrierbare

Funktion, da kann man das Integral ausrechnen und wenn dann der Grenzwert dieser Integrale,

wenn sie das a gegen die schwierige Stelle schieben, existiert, dann nennt man das das

uneigentliche Integral.

Eine andere Möglichkeit wo das auftritt ist, wenn sie über die ganze reelle Achse integrieren

wollen, dann starten sie bei a, zum Beispiel bei a gleich Null und schieben die obere Grenze

gegen unendlich, da kann auch dann ein endlicher Wert herauskommen als Grenzwert für die Integrale,

wenn das relativ schnell dann gegen die x-Achse fällt, dann kann es auch sein, dass hier die

Fläche zwischen der Achse und dem Funktionsgrafen noch beschränkt bleibt und dann bekommen

sie da auch einen Grenzwert heraus, das nennt man dann auch ein uneigentliches Integral

und da schreibt man dann Integral von a bis unendlich von x dx.

Das sieht also so ähnlich aus wie eine unendliche Zahlenreihe und so kann man sich das auch

vorstellen, wir können ja hier in der Situation immer die Integrale von bis zur nächsten

natürlichen Zahl betrachten, also von 0 bis 1, dann von 1 bis 2, von 2 bis 3 und so weiter

und allgemein von n bis n plus 1 und dieses Integral von 0 bis unendlich, wenn es existiert,

können sie sich auch als Summe von Integralen von n bis n plus 1 vorstellen und das n läuft

dann auch von 0 bis unendlich und da haben sie dann eine unendliche Zahlenreihe und da

besteht also ein enger Zusammenhang zwischen der Konvergenz der uneigentlichen Integrale

und der Konvergenz der Zahlenreihen und das nennt man das Integralkriterium, dazu kommen

wir dann auch noch im Lauf der Vorlesung.

Jetzt erstmal zu grundlegenden Beispielen, das sind immer diese Potenzen x hoch alpha,

das haben sie ja schon bei den Reihen gesehen, da hat man ja auch die Reihe von n hoch alpha

betrachtet und da die Konvergenz analysiert und hier dem entspricht das bei den Funktionen

das x hoch alpha a, das sei also unser Exponent alpha eine reelle Zahl, falls jetzt alpha echt

kleiner ist als minus 1, können wir von 1 bis unendlich integrieren, also das alpha ist

dann insbesondere negativ und dann kann man das Integral von 1 bis unendlich von x hoch

alpha betrachten, das x hoch alpha liegt dann unterhalb von 1 durch x und fällt auch schneller

gegen die Null als 1 durch x, nach Definition ist dieses Integral der Grenzwert, für y gegen

unendlich Integral von 1 bis y x hoch alpha dx, das ist ja unsere Definition, wir halten

die untere Integrationsgrenze fest und verschieben die obere Integrationsgrenze gegen unendlich

und diese Integrale über die endlichen Intervalle, die kann man aber leicht ausrechnen, mit der

Stammfunktion erhalten wir x hoch alpha plus 1 mal 1 durch alpha plus 1 in den Grenzen

x gleich 1 bis y und da kann man jetzt einsetzen, die 1 ist ja fest unabhängig von y und die

kommt hier als untere Grenze vor, da kriegen wir also minus 1 durch alpha plus 1 und bei

der oberen Grenze haben wir ja alpha plus 1 im Exponenten stehen und nach unserer Voraussetzung

ist alpha plus 1 kleiner als Null und wenn dann das y hier eingesetzt wird, haben wir

y hoch alpha plus 1, dann läuft das y gegen unendlich und dann geht das gegen Null, weil

der Exponent kleiner als Null ist und dann ist das unser Wert für das uneigentliche

Integral, also das ist eine positive Zahl, weil alpha plus 1 kleiner als Null ist, man

kann das also auch schreiben als 1 durch Betrag von alpha plus 1, wenn Sie mögen.